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「align環境が使えない」とか言ってたけど，改行せずに
\begin{verbatim}\begin{align*} a \end{align*}\end{verbatim}
とやれば出来るというアレでした．「みたまま編集」でやるとそういう事になる．
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$V$：$\mathbb{R}$-内積空間．内積は $x,y \in V$について$(x,y)$と書くことにする．写像$f:V \to V$で，
\[\forall x,y \in V,(x,y)=(f(x),f(y))\]
が成り立つものを直交変換という．
命題：直交変換$f:V \to V$は線形写像である．
証明：$x,y \in V$について，
\[\|f(x+y)-f(x)-f(y)\|^2=(f(x+y)-f(x)-f(y),f(x+y)-f(x)-f(y))\]
で，これを内積の公理を使って展開すると
\[(f(x+y)-f(x)-f(y),f(x+y)-f(x)-f(y))=((x+y)-x-y,(x+y)-x-y)=0\]
である．よって$f(x+y)=f(x)+f(y)$．$a \in \mathbb{R},x \in V$について$f(ax)=af(x)$も同様．$\Box$
これ思いつかずに2日くらい無駄にした．これからは1日わかんなかったらググることにしよう．
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代数閉体 $k$ を一つ固定して， $k$ 上の前代数多様体の成す圏と $k$ 上有限型かつ整なスキームの成す圏が圏同値である事を証明するのに凄く時間がかかってしまった…
本当にざっくりと言えば，アフィンの場合だけ言うと，$k$ 上局所有限な整アフィンスキーム $X \simeq \text{Spec }A$ について， $A$ は $k$-代数として有限生成な整域であって， $\text{Spec }A$ の閉点，つまり極大イデアル全体 $\text{Spm }A$ が $k$ 上のアフィン代数多様体の構造をもち($k$ 代数として有限生成な体は $k$ に同型だから， $k$ 上に値をとる函数として構造層がとれる)，逆に $k$ 上のアフィン代数多様体 $V$ は，その座標環を $A$ として $\text{Spm }A$ と同相であり， $\text{Spec }A$ を対応させることで $k$ 上局所有限な整アフィンスキームになるという話なんだが，同一視を結構多く行なう必要があり，時間をそういう所にとられまくっていた．アホらしい．
追記(2013/03/10)：証明失敗してた．駄目でした．
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数論が苦手だなあと実感した連休だった。素数はもう嫌だ。
あと風邪引いた。
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ついに買った。
